与圆的应用相关的综合实践问题

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内容梗概

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与圆相关的综合实践问题的题型主要有以下几类：①与垂径定理相关的综合问题(求拱桥的半径问题、荡秋千问题、水面上升高度问题等)；②直线与圆的位置关系问题(求台风对某一个点的影响范围问题、求噪音对某一个居民区的影响时常问题)；③扇形内接正方形面积最大的问题。对于此类问题的解决，需要运用模型思想，即将实际问题抽象成数学模型，从而利用数学中几何图形的性质定理解决实践问题。

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PART 01

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与垂径定理相关的综合实践问题

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性质定理回顾

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典型应用问题

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01 “赵州桥”问题

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 “赵州桥”问题及其变式

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解法分析：本题需要先找出弓形的圆心。第(1)问利用垂径定理，联结圆心和点C及点A，构造直角三角形，利用构图定理求半径长度；第(2)问结合仰角的意义，同样构造直角三角形，通过两次利用勾股定理求出水面上升的高度。

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 引申：关于求水面上升高度的问题

问题1：如左图，是一个油罐的横截面，里面储存的油高度为1米，其宽度为6米，则该油罐的半径为多少？

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解法分析：如右图，通过联结AO、过点O左AB的垂线交弧AB于点C，通过设半径为R，利用勾股定理即可求出半径长度。问题2：若继续加油，若油面的宽度由6米变为8米，那么油面上升的高度为多少米？解法分析：如下图所示，油面宽度变为8米有以下两种情况，即本题转化为“平行弦”问题，需要分类讨论，再次利用勾股定理求出两条平行弦的距离就是油面上升的高度。

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02 “圆材埋壁”问题

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解法分析：本题虽涉及数学阅读，但是其本质还是可以化归为“利用垂径定理及其推论”求半径问题。

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03 “荡秋千”问题

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解法分析：荡秋千问题实际上涉及到模型思想，将秋千的固定点联想为圆心，秋千绳长联想为半径，当秋千静止时，物联网软件开发公司绳长垂直于地面；当秋千荡到最高点时，其水平距离可以抽象为平行于地面的弦，即可联想到垂径定理模型。对于本题而言，解题路径如下：

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方法梳理

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PART 02

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与直线与圆位置关系相关的综合实践问题

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性质定理回顾

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典型应用问题

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01 噪声对某一个点影响范围的问题

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解法分析：本题需要考察的是噪声对于点A的影响范围。对于噪声是否影响点A，只需要过点A作MN的垂线，若小于影响范围，则有影响。若要考虑影响的范围，则以A为圆心，100为半径画圆，与MN有两交点B、C，则BC的长度就是影响的距离，除以速度就是影响的时间。

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02 噪声对某一段距离影响范围的问题

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解法分析：本题的第(1)问通过联结连接PA，在Rt△PAH中利用勾股定理来求PH的长度。本题的第(2)问涉及分析受影响的范围：以车子为圆心，以39米为半径画圆，当这个圆恰好经过点A时，确定圆心P，当这个圆恰好与AB相切时，确定圆心Q，则隔音板的长度是PQ的长度。通过解Rt△ADH、Rt△CDQ分别求得DH、DQ的长度，然后结合图形得到：PQ＝PH+DQ-DH，把相关线段的长度代入求值即可．

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 引申：关于噪音对一排居民楼影响的分类讨论问题

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方法梳理

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PART 03

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与扇形内接正方形相关的综合实践问题

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解法分析：本题的解决策略可以联想直角三角形中内接正方形面积最大的问题，可以联想以下两种情况：

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由此类比出扇形中内接正方形面积最大问题的解法：

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