物联网软件开发资讯 曲率，一个高度详细的主意，委果贯穿它需要至极深厚的数学布景
发布日期：2024-07-18 15:41 点击次数：155
图片
广义相对论是物理学中一个至极高等和复杂的范围，要委果贯穿它，需要至极深厚的数学布景。广义相对论触及的几何学至极复杂，需要掌持大王人的数学常识和手段。
“转折时空（Curved Spacetime）”是一个让东说念主们感到困惑的主意，但在一维和二维空间中，“曲率”和“转折性”短长常基本、直不雅的主意。它们以致可能深深地植入咱们的念念维中，因为对于像咱们这么的有视觉的生物来说，转折和直线是范围识别的要道主意。在当代的寰宇里，钟、球、裙子和泡泡的转折几何体式，对每个四岁以上的孩子来说王人是直不雅的。
当数学家柔柔平淡主意时，他们试图将这些主意延迟到咱们所练习的范围除外。数学是一门权术轨则和详细主意之间关系的科学。当数学家对这些咱们认为理所固然的主意进行深入的索要和详细，再尽可能地拓展它们时，最终获取的限度可能会与咱们原先的贯穿大相径庭，显得至极生疏和不同。
当咱们听到“曲率”这个词时，咱们会期许它与咱们一经练习的、不错直不雅感受到的东西研究。然则，当咱们试图将这个主意应用到更高维度的空间中时，咱们的直不雅感受就会失效，因为咱们无法径直在心里联想出四维或更高维度空间的曲率。
图片
在平淡讲话中，“转折”不时是指与“平坦”相对的气象。当咱们说一个物体或空间是“转折”的时期，咱们不时是在说它不是平坦的。而在数学中，额外是在几何学中，“平坦几何”有一个更具体的含义。它指的是死守欧几里得公理体系的几何学，即欧几里得几何学。在这个体系中，平行线历久不会相交，两条线段的最短距离是一条直线，以过火他一些基本假定。因此，对于数学家来说，当他们说一个几何空间是“平坦”的时期，他们的兴味是这个空间死守欧几里得几何学的章程。
数学史上开脱欧几里得几何学的发展进程至极意旨且豪阔恶果，尤其是在十九世纪。在阿谁时期，数学家启动探索欧几里得几何学除外的几何体系，如非欧几里得几何学（包括双曲几何和椭圆几何）。参加二十一生纪，当代几何学络续是一个充满活力的权术范围。数学家们不断提议新的想到，探索愈加详细的几何主意，举例拓扑几何、代数几何和微分几多么。
不要试图联想它
当咱们想要贯穿二维曲面（如球面或圆柱面）的曲率时，一种直不雅的纪律是不雅察这个曲面怎样从一个平面（二维空间）转折参加到第三维度空间。换句话说，咱们研讨曲面在垂直于原始平面方朝上的转折进程。举例，球面的曲率在各个点王人是交流的，因为不管从哪个场所不雅察，它王人以交流的样式转折；而圆柱面在沿着圆柱轴线的方朝上是笔直的（莫得曲率），但在垂直于轴线的方朝上是转折的。通过研讨这种从平面到第三维度的转折进程，咱们不错更好地贯穿二维曲面的曲率特点。
在三维及以上维数的流形中，我认为念念考曲率的样式是烧毁“转折性”和“转折”的主意。咱们根柢无法联想三维空间的转折意味着什么，或者四维时空的转折意味着什么，是以咱们必须转向更巨大、更详细的主意。
相悖，研讨那些偏离或不安妥欧几里得几何公理的几何结构，概况提供更多的纯真性和灵验性。在当代微分几何学中，这种偏离欧几里得几何的性质不错通过两个数学器用来量化，这两个器用即是张量：黎曼曲率张量（Riemann Curvature Tensor）和诬陷张量（Torsion）。
图片
球面上矢量绕闭环（从A到N再到B再回到A）的平行转移。它旋转的角度与环内的面积成正比。
此外，咱们不错讹诈平行转移（parallel transport）的主意的婉曲性（比拟隔邻的切空间，以便咱们不错进行微积分）来简化问题：证实伪黎曼几何的基本定理，咱们不错通过取舍清除诬陷的界说来独一地界说平行转移，从而使曲率张量（黎曼张量）成为了形色几何空间偏离欧几里得公理的独一和完整的器用。额外是，黎曼张量不错量化空间偏离欧几里得几何中的第五个公设——平行公设的进程。
在欧几里得几何中，平行公设指的是通过给定点有且惟有一条直线平行于给定直线。在非欧几里得几何中，这个公设不再诞生，黎曼张量即是用来形色这种偏离的量化器用。
曲率张量是一种数学器用，用于揣度空间中协变导数（一种研讨了空间曲率的导数）的弗成交换性。在平坦的欧几里得空间中，协变导数是可交换的，这意味着两个场所的导数的循序不错互换而不转换限度。然则，在转折的空间中，这种交换性不时不诞生，曲率张量即是用来形色这种弗成交换性的进程。
因此，曲率张量不错被看作是一个揣度空间转折进程的量化器用。要是一个空间的曲率张量处处为零，那么这个空间即是平坦的，不错与欧几里得空间诞生等距映射（一种保持距离不变的映射）。要口角率张量不为零，那么就不存在这么的等距映射，曲率张量就成为了存在等距映射的一个穷苦，也即是说，它休止了空间与欧几里得空间之间的完好对应。这种可积性穷苦是指在转折空间中，无法像在平坦空间中那样解放地进行积分和微分操作。
发源：二维曲面几何
曲率张量的主意背后有一个意旨的历史。它始于二维曲面的曲率，其中十九世纪的几何学家认为二维曲面镶嵌在三维和更高维度的空间中。曲率是证实密切曲面的圆的曲率来界说的。要是你不知说念什么是密切圆（osculating circle），浙江物联网软件开发参考底下的动图
图片
在曲面上的率性给定点，领先找到单元法向量，然后构造一个与曲面垂直相交的平面。这个平面不错朝任何场所，然后在这个平面上绘图一个与曲面相切的圆，即圆在搏斗点的曲率半径与曲面在该点的曲率半径交流。当这个切割平面围绕单元法向量旋转时，切圆的半径的倒数，即曲率，在最大值和最小值之间平滑变化——这两个极值是主曲率。
稳健，在鞍点上方有切割平面，在这种情况下与主曲率平面呈45度角，这些是无限长的等高线，即曲率精准地为零。这些直线等高线是切平面与鞍面的交线，其他等高线是双弧线；
鞍点口角面上的一个点，在这个点上，曲面在一个方朝上是隆起的（正曲率），而在另一个垂直方朝上是凹下的（负曲率）。这种体式访佛于马鞍，因此得名鞍点。
在鞍点上方，不错构造一个切割平面，使其与曲面的两个主曲率平面呈45度角。在这个特定的角度，切割平面与曲面的交线（等高线）是直线，而不是弧线。
小程序开发这些直线等高线暗意曲面在这些方朝上的曲率为零，即曲面在这些方朝上是平坦的。这与鞍点的特点一致，即在某些方朝上曲率为正，在垂直方朝上曲率为负。
除了直线等高线除外，鞍点隔邻的其他等高线不时是双弧线体式，这反馈了曲面在这些方朝上的曲率变化。
底下的图应该使这少许更明晰：
图片
对于这个鞍形，最大和最小曲率的大小交流但符号相悖。但在分歧称的鞍形中，其他角度是可能的，具有不同大小的最小和最大曲率。
是以这是早先，十九世纪几何学家对曲率的主意——这一切王人与镶嵌和曲面与其所在的三维空间之间的关系研究，这种关系通过密切圆的主意体现。
因此，咱们不错看出为什么高斯在发现两个主曲率的乘积（咱们当今称之为高斯曲率）口角面的内在属性时，他会惊呼“Theorema Egregium！”（“杰出的定理”）。这个曲率不错从一个叫作念度规张量的量入网算出来，而不需要参考任何镶嵌。用手艺术语来说：高斯曲率对于曲面的任多么距变换是不变的，举例，两个外不雅至极不同的旋转面和螺旋面之间的著名等距变换。它齐备孤苦于任何镶嵌主意。底下的动图讲明了这种等价性，我以为这很迷东说念主：
图片
欧几里得的教条过火最终的倒塌
"Theorema Egregium"在好多方面王人远远杰出了它的时间，它贯穿了对于曲面几何的一些委果出东说念主意料的东西。
与此同期，数学家雅诺什·博利亚伊和尼古拉·洛巴切夫斯基分辩独就地讲解了欧几里得的第五公设（平行公设）在逻辑上孤苦于其他四个公设。他们通过构造得志欧几里得前四个公设但不得志第五个公设的几何模子来讲解这少许。这些模子组成了双曲几何的基础，这是一种与欧几里得几何不同的几何体系。双曲几何的典型竣工包括庞加莱圆盘和庞加莱双曲半平面。
图片
几个世纪以来，东说念主们一直推断欧几里得的第五公设不错推导出来，因此不孤苦于其他四个。对于第五公设的“讲解”有着悠久的历史，“从欧几里得的其他公理中推导出来”。博利亚伊和洛巴切夫斯基转换了一切。两千年的教条化念念想化为废地，因此他们的豪举既需要勇气也需要贤达。
当代黎曼曲率主意
图片
咱们不错回顾性地看到从高斯、洛巴切夫斯基和博利亚伊启动的历史到广义相对论之间的一条浮现旅途。
黎曼几何的权术通过里奇微积分和张量分析的发现（黎曼是高斯的学生，他发展了非欧几里得几何的念念想）获取了系统化，这指令咱们到了黎曼几何的基本定理和对曲率张量当作偏离欧几里得第五公设的量化的严格聘用。
其中一个主意是当作测地线偏差的度量。在几何学中，测地线是空间中两点之间最短旅途的实行。在曲面或曲率空间中，测地线可能不是直线。测地线偏差是一种度量，用来形色两条相邻测地线之间的分离进程跟着它们前进的变化。
图片
测地线偏差径直挑战了欧几里得第五公设，因为在非欧几里得几何中（如双曲几何），不错有多条通过给定点的测地线与给定的测地线不相交。
临了，在爱因斯坦的广义相对论之后，Ambrose-Singer定理标明，曲率，因此欧几里得几何的齐备量化不错通过Holonomy的主意来细目——即测试向量在绕环路“平行转移”时的变化。这少许很费劲，因为黎曼几何和里奇微积分将曲率视为场所协变导数之间的换位子。
Holonomy即是测试向量在绕环路平行转移并与转移前的自己进行比拟时，与早先的偏离进程。我心爱将黎曼曲率张量看作是一个矩阵（变换）值函数R(X,Y)，它是两个向量X和Y的函数，这两个向量界说了一个无限小的平行四边形环路。变换将第三个向量Z映射到它在绕小环路平行转移时所资格的变化，如下图所示。
图片
偏差与 X 和 Y 界说的平行四边形所围成的环路面积成正比。黎曼张量汲取两个向量 X 和 Y，并输出一个变换 R(X,Y)。然后，将此变换施加到 Z 上，以缱绻 Z 由于绕环路平行转移而引起的变化。用符号暗意，变换不错写成一阶姿首
图片
一个空间是欧几里得空间当且仅当这个变换是恒等变换，即当且仅当向量在绕任何可能的环路平行转移时不发生变化。因此物联网软件开发资讯，变化的大小精准量化了空间的非欧几里得性。讲解度量在开邻域 P 内界说了一个平坦空间当且仅当黎曼张量 R 在这个邻域内处处灭绝，这个讲解至极肤浅，提供了真切的知悉。
本站仅提供存储就业，通盘施行均由用户发布，如发现存害或侵权施行，请点击举报。上一篇：没有了