物联网软件开发公司 一个马虎的概率几何问题，竟与黎曼函数有着出东说念主预感的联系
发布日期：2024-07-18 16:15 点击次数：83
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黎曼ζ函数在数论中占有热切地位，揭示了很多长远的数学表象。一个悠悠忘返的问题是，它与一个看似马虎的几何问题有着出东说念主预感的联系：假定你站在一个无限的网格平面上。你不错朝整个标的无限远地看去，但你不行透视网格点：要是某个网格点位于你的视野中，则该点被遮盖。你能看到若干比例的网格点呢？这是一个至极情理的问题，它不依赖于肇端位置。我需要略微解释一下这个问题，因为你不错看到无限多的点，也有无限多的点你看不到，那咱们怎样交融它们的比例呢？以及咱们商讨的“网格”是什么敬爱呢？对于网格，不错假定它们指的是整数点。这些点（x, y）位于平面上，其中x和y王人是整数，不错（不失一般性）假定咱们站在坐标系的原点（0,0）。解释这个问题的最马虎情势是举一个例子。是以假定你站在一个无限的网格上，并将你的位置设为原点（0, 0）。然后很显着，点（9, 4）从原点可见，莫得其他点挡住视野。图片
另一方面，点（6, 2）是不可见的，因为点（3, 1）“挡在了路上”。图片
要是你仔细思思，你会发现这是因为这两个点王人位于穿过（0, 0）的一条线上。因此，其中一个点必须是另一个点的（标量）倍数。换句话说：这两个坐标必须有大于1的内行因子。也即是说，要是两个坐标的最大条约数大于1，那么该点从原点不可见。在数学术语中，咱们写稿gcd(x, y) > 1。这个小分析使咱们好像略微鼎新一下问题。让咱们在原点周围画一个边长为2r的正方形，并蓄意正方形内可见的点数。然后将这个数量除以正方形内的总点数，取得每个这么的数r的函数CP(r)。图片
咱们不错明晰地界说C(r) = 正方形内互质数对的数量 / 正方形内的总点数。当今的问题是，跟着r趋近于无尽大，CP(r)的极限是若干？让咱们创建一些Python代码来护士这个问题。from tqdm import tqdmimport matplotlib.pyplot as pltdef is_coprime(x, y): x, y = abs(x), abs(y) for i in range(2, max(x, y) + 1): if x % i == 0 and y % i == 0: return False return Truedef CP(r): visible = 0 for x in range(-r, r): for y in range(-r, r): if is_coprime(x, y): visible += 1 return visible / (2*r)**2r = 1000print(f"\nThe fraction of visible points with r = {r} is about: {round(CP(r), 5)}\n")print("Tracking convergence...")history = []for i in tqdm(range(1, 300)): history.append(CP(i))plt.plot(range(1, len(history)+1), history)plt.show()要是运行这段代码，你会看到两个输出。领先，它会print：r = 1000时，可见点的比例约为：0.60798其次，会取得一个不停图的图像：
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是以不管这个数字是若干，它王人接近于0.6079。这个数字是对上述问题的一个近似谜底，即当咱们站在原点时，咱们不错看到约60.79%的点。通过略微修改代码，不错取得一个象限内可见点的图：图片
把稳，在垂直线上的点越多，相应的数字就越“质数”，点越少就越是合数。你能把柄这幅图找出1到100之间的孪生素数吗？概率本事让咱们从概率的角度来辩论这个问题。咱们需要蓄意当r至极大时聘用一个可见点的概率。咱们该怎样蓄意呢？随即聘用一个可见点或等效地聘用一个互质对P = (x, y)的概率与莫得任何素数同期整除x和y的概率疏导。在这种情况下，本色上更容易蓄意这个事件的互补事件，即咱们聘用的点不可见的概率是若干？要使这种情况发生，兰州物联网软件开发咱们需要一个质数同期整除x和y。质数p整除x的概率是1/p，因为在数轴上每隔p个数就有一个数能被p整除，质数p整除y的概率亦然1/p。要是咱们觉得这些事件是孤苦的，那么p同期整除x和y的概率即是1/p²。不同期整除x和y的概率是1-1/p²。由于这需要对整个素数王人建造，因此莫得任何素数同期整除x和y，因此点（x, y）可见的概率由乘积给出：图片
1.【阵容】阿根廷教练组对于上场淘汰赛常规时间被厄瓜多尔逼平感到不满，球队进攻端的表现相当低效。 在赛前的训练中，阿根廷已经开始对阵容进行调整，预计本场比赛劳塔罗和冈萨雷斯会进入替补，老将迪马利亚和阿尔瓦雷斯将进入首发！
app这不错用更紧凑的标记写成：图片
当张开这个乘积时，咱们取得了一些形如1/m²的数的总额，但不是整个这么的数。具体来说，咱们取得一系列上述形貌的数字，其中m是无闲居因子的，意味着莫得任何闲居数不错整除m。等效地，m的质因数明白仅由不同的质数构成。此外，这些数字的标记（正或负）由m的质因数的数量决定：要是m的质因数数量是奇数，那么这个数字即是负数；要是质因数数量是偶数，则这个数字是正数。这个函数被称为默比乌斯函数，用μ默示。从上头咱们不错看到：图片
是以这个序列运行于图片
要是取这6个数字并将它们相加，将取得毛糙0.606。但这个特等的数字到底是什么？咱们能找到一个阻塞形貌吗？恰好，这个抒发式赶巧等于1/ζ(2)，其中ζ是黎曼ζ函数。红运的是，欧拉解释了ζ(2) = π²/6。轮廓这些信息，咱们取得可见点的比例确切地为图片
黎曼ζ函数界说为图片
当s > 1时，这个函数由欧拉在17世纪泛泛酌量过。黎曼在一个世纪后酌量了这个函数（黎曼ζ函数），但他是把它手脚复数变量的函数来酌量的，这么的酌量揭示了这个函数的实在魔力和纷乱之处。欧拉找到了ζ函数的一个美艳的乘积公式，这基本上是算术基本定理的一个版块。他发现图片
当s > 1时，要是咱们将欧拉找到的ζ函数的乘积形貌取倒数，并将s设定为2，就取得了1/ζ(2)真实切乘积抒发式。要是咱们在三维空间中提倡疏导的问题会何如？通过相同的论证，不错暴露，在三维网格中可见点的比例是1/ζ(3)。这个常数是数学中最奥秘的数字之一！莫得东说念主能找到它的阻塞形貌抒发，谁要是找到了，将会宇宙有名。 本站仅提供存储作事，整个内容均由用户发布，如发现存害或侵权内容，请点击举报。上一篇：没有了