| 发布日期：2024-07-18 16:28 点击次数：139 |
图片
矩阵转置即是交换行和列，对吧？取一个矩阵A，将其列养息成行，然后新矩阵被称为A的转置，但其实远不啻于此。
图片
执行上，咱们不错在填塞不提矩阵的情况下界说线性映射的转置。潜入融会转置是怎样产生的将匡助咱们可视化它，而在这还是由中，咱们将遭逢更深档次的主题，如协变（向）量（Covector）、对偶性等等。
在数学或物理学中，"covector"这一术语有几种不同的华文翻译，常见的包括：
协变量：这是最常见的翻译之一，泛泛用于数学和物理学的文件中。
共向量：这个翻译较异常，但在某些文件中仍然不错找到。
对偶向量：固然这个翻译不太常用，但它强调了协变量与原向量空间中向量的对偶关系。
余向量：这个翻译在一些文件中也不错见到，尤其是在磋议向量空间和对偶空间的关系时。
第1-4位号码分析：历史同期第182期出现范围在01-30区段，号码012路比为7：2：3，去年同期开出奖号：01+09+12+14，号码012路比为2：1：1。
协变量、对偶或1-神色的倡导（Covector、Dual or 1-form）
在不同的潦倒文中，使用不同的称呼，
图片
我在这里选拔使用“协变量”。协变量基本上是一种机器，它会经受一个向量，并输出一个数字。
图片
我心爱称这种机器为测量配置，它“测量向量”。这些配置特别之处在于它们是“线性”的。这意味着要是有两个向量v_1和v_2，它们分别被这个机器测量为a_1和a_2，那么这个机器将测量v_1 + v_2为a_1 + a_2；要是你将向量v_1缩放一个λ倍，那么它将被测量为λa_1。
图片
目下假定有一个线性变换，α，将一个向量v变换为另一个向量w。为了强调v和w不错特别不同，假定v是一个二维向量，而w可能是一个三维向量。出于某种原因，你思用协向量测量w。
图片
一个不顺应的类比是：你思测量我方的体重，这里的向量即是你。
但你莫得秤，你不得不使用邻居的。是以一种步调是去邻居家。但你也不错打电话给邻居，让他送给你，这么你就不错在家里进行测量，并获取调换的谜底。秤从邻居家出动到你家即是α的转置。是以α是你去邻居家，α转置是将测量配置从邻居家出动到你家。
但这与你所知的矩阵转置有什么关系呢？矩阵，从本体上讲，只是线性映射的一个追想。举例，关于一个二维线性映射，
图片
第一列告诉你向量(1,0)去何处；第二列告诉你向量(0,1)去何处。要是咱们思知说念苟且向量(x,y)去何处，只需将第一列乘以x，再加上y乘以第二列！
图片
只需知说念这四个数字（a，b，c，d）就足以笃定通盘线性映射，是以矩阵本体上是线性映射的追想。是以有了线性变换α过火转置，还有追想变换的两个矩阵：
图片
最伏击的点是：转置只是将某些测量配置（协变量）从其他空间养息回原始空间。
app可视化协变量
因为协变量是线性的，是以就像线性变换一样，在二维情况下，只需要知说念(1,0)和(0,1)是怎样被测量的。
图片
要是测量值分别是a和b，为了咱们的诡计，让咱们说这个测量配置为(a,b)协变量或协变量(a,b)。
图片
向量 (a, b)：这是一个有序的数对，示意在二维空间中从原点起程到点 (a, b) 的一个箭头或者标的。向量时时用来示意物理量，如位移、速率、加快度等。
协变量 (a, b)：这是一个函数，它作用于向量空间中的向量，并将它们映射到一个标量。具体来说，协变量 (a, b) 会将任何向量 (x, y) 映射到 ax + by。
目下要是你取任何向量(x,y)，它只是x倍的(1,0)加上y倍的(0,1)，把柄线性，它将被测量为xa + yb。
图片
是以在二维情况下，一个(a,b)协变量将向量(x,y)测量为xa + yb。这只是两个变量的函数。
一种天然的可视化形状是绘画一个三维图形，其中z坐标是(x,y)处的函数值：
图片
在这种情况下，它即是一个通过原点的宽绰平面。关联词，因为咱们思要研究一个三维协变量，咱们使用另一种略微绕弯的形状来可视化这么的函数。
图片
研究它的等高线。也即是绘画悉数这么的点(x,y)，使其被测量为一个数c：
图片
在这个特定的例子中，咱们绘画线图ax + by = c，其中a是2，b是3，是以这代表一个(2,3)-协变量。通过变化c，咱们不错窥见这个函数的活动。在这种情况下，它只是潦倒出动。
图片
标记这条线为1，因为那是悉数将被测量为1的点。
图片
咱们只为整数值的c绘画线图，因此，咱们获取的是一些断绝固定、平行的线。
图片
天然，这只是一个协变量（a=2，b=3）。不同的协变量会有不同标的和密度的不同组平行线。但目下的问题是，给定一组特定的平行线，咱们能快速识别出这是哪个协变量吗？
图片
上图是(-1, -0.5)协变量图，把它与(-1, -0.5)向量比拟望望会发生什么。
相应的向量垂直于悉数直线。是以，给定这些平行线，咱们知说念的是相应的向量位于这条垂直线上，
图片
但为什么是这个实在的向量(-1, -0.5)呢？要是缩放这个向量，咱们耀眼到向量越长，平行线就越密集。是以咱们预期向量的长度与平行线的密度成正比。
更定量地说，要是有了线之间的破绽大小，那么线的密度应该是1/破绽大小 。事实上，向量的长度刚巧是1/破绽大小。是以固然知说念了长度，但底下这两个向量有调换的长度（标的相背），你怎样笃定是哪一个？
图片
举例，这条线被标记为2，因为它们齐是协变量将其测量为2的点。
图片
有了这些数字，咱们不错分手这两个向量，因为协变量指向正数（c为正数）。
是以追想一下，你怎样仅通过不雅察这些线就知说念是哪个协变量：
领先，相应的向量（协变量）垂直于这些线；
然后，看一下线之间的破绽大小，然后你知说念它是两个向量之一，其长度是1/破绽大小；
然后稽查线的荫藏数字（即c的数值），并选拔指向正数的阿谁。
终末，读取协变量的坐标。
上头，咱们使用平行线可视化了二维协变量。三维协变量雷同，只是把平行线换为平行平面。相应的向量仍然会垂直于这些平面，向量的长度仍然示意密度，向量仍然指向正数。
目下咱们已经可视化了协变量，底下准备进行转置。
可视化转置
正如上文所示，α转置将一个测量配置，即另一个空间中的协变量，养息回原始空间。是以通过转置，将一个协变量养息为另一个协变量。问题在于一个协变量已经占用了相等多的空间。两个协变量一齐出现已经是最大值了（二维情况下，通盘平面）。是以咱们只可一次可视化两个协变量的养息。
咱们应该选拔哪两个协变量呢？就像畴前线性变换一样，选拔的两个代表是：(1,0）协变量和(0,1)协变量。
再啰嗦一下：关于协变量 (1, 0)，它将向量 (x, y) 映射到 x。因此，悉数具有调换 x 坐标的点齐会被映射到调换的值。这些点组成了一条平行于 y 轴的直线。是以，固然 (1, 0) 协变量自身不是直线，但它产生的等值线是平行于 y 轴的直线。相同地，协变量 (0, 1) 的等值线是平行于 x 轴的直线。
图片
图片
就像畴前向量变换一样，咱们不雅察(1,0)协变量酿成什么。无论它酿成了哪个协变量，齐会是转置矩阵的第一列。同理不雅察(0,1)协变量的变换。是以关于协变量变换，咱们不错雷同地写下一个矩阵示意。第一列告诉你(1,0)协变量怎样变换，第二列告诉你(0,1)协变量怎样变换。
图片
接下来，咱们将使用右剪切（right shear）当作例子。右剪切的转置应该是什么样的？
图片
在这个特定的例子中，α是一个右剪切，一个2D到2D的养息。目下，这个(1,0)协变量测量剪切后的向量（W）。转置的任务是找出咱们不错用哪个协变量（？，？）径直测量原始向量（V），以便咱们最终获取调换的测量值。
图片
接下来，物联网软件开发资讯咱们望望(1,0)协变量怎样测量剪切向量。在这个例子中，测量值齐是1。但与其研究它们的实在测量值，不如耀眼到顶端齐位于合并条线上（底下的黄色直线）。
图片
别忘了，每条线代表那些测量值是合并个固定常数c的向量的顶端，是以在这个可视化中，向量的顶端在哪条线上告诉你向量的测量值。
转置是这么的：领先，基向量回到了它们原来的位置。况兼两个向量的顶端仍然位于黄色粗线上，即测量值不变。
图片
让咱们望望转置对(0,1)协变量有什么影响。再次，咱们先对基向量进行右剪切，然后使用(0,1)协变量来测量它们。此次，它们的测量值不同。我使用粗粉线来粉色粉色向量的测量值，使用粗绿线来示意绿色向量的测量值。
图片
关于转置，咱们思要将基向量带回原位，并保留测量值。此次，咱们不需要对协变量作念任何变换，因为粉色向量的顶端仍然位于粉线上，绿色向量的顶端仍然位于绿线上。当向量回到原位时，它们的测量值莫得调动。
是以总的来说，这即是对基向量进行右剪切后的情况。转置但愿基向量回到原位，同期保留测量值，因此它本体上对通盘图像进行了左剪切。
图片
等一下……蓝本咱们有一个右剪切，怎样转置是左剪切呢？
固然它看起来像是左剪切，但网格线执行上是由两个不同的协变量组成的。原始的右剪切具有矩阵
图片
因为(1,0)向量保执不动，剪切后仍然是(1,0)，但(0,1)向量剪切成了(1,1)向量。底下是(1,0)协变量：
图片
所谓的“左剪切”将上头的协变量养息为底下这个协变量：
图片
这是哪个协变量呢？咱们知说念相应的向量（暂且融会为协变量对应的向量）位于垂直线上（上头玄色线），然后咱们需要谋划破绽大小。不难算出，破绽大小为：
图片
因为相应向量的长度是1/破绽大小，是以相应向量长度是。这给出了两个选拔：要么是(1,1)协变量，要么是(-1,-1)协变量。因为蓝本，底下这条黄色粗线被这个(1,0)协变量正向测量，
图片
养息后，这条粗线示意正标的，是以它必须是(1,1)协变量。另一方面，(0,1)协变量不受左剪切影响，是以它仍然是(0,1)协变量。是以这所谓的“左剪切”应该由这个矩阵示意，
图片
因为第一列告诉咱们(1,0)协变量已经养息为这个(1,1)协变量，而(0,1)协变量仍然保执不动，仍然是(0,1)协变量。
目下将这个“左剪切”的矩阵与原始的右剪切进行比拟。你不错看到，这些矩阵如实只是相互交换行和列！
图片
转置的另外两个例子
第一个是一个对角矩阵（diagonal matrix），举例对角线上的元素为3, 2的矩阵。
图片
第一列只是告诉咱们将粉色向量放大3倍，第二列告诉咱们将绿色向量放大2倍。像之前一样，咱们带上协变量，并进行逆变换以使基向量回到肇端位置，但从协变量的角度看，这执行上是一个(3,0)协变量，因为破绽大小目下减少到原始大小的1/3，相应向量的长度执行上是3。
图片
关于另一个协变量来说，填塞调换，只是破绽大小减半，是以相应向量的长度是2，因此咱们最终获取一个(0,2)协变量。这即是为什么这个变换仍然由调换的矩阵示意，因为咱们将这些网格线视为协变量，执行上，要是作念交换行和列的操作，仍然获取调换的矩阵！
另一个例子是旋转（rotation）。再次，咱们从基向量运转，假定将基向量逆时针旋转60度。
图片
相同，咱们带上协变量网格，并进行逆变换以使基向量回到肇端位置。此次，咱们将通盘网格顺时针旋转60度。
图片
那么这个协变量是什么呢？它是通过将这个原始协变量顺时针旋转60度获取的，底下是原始协变量相应的向量：
图片
在旋转技能，相应的向量（1,0）以相同的形状旋转，即顺时针60度。
图片
这是因为仅通过旋转，破绽大小莫得调动，是以咱们不需要调动相应向量的长度。关于另一个协变量来说，一样。是以在这种情况下，转置不单是“看起来像”逆，它是作用在相应向量上的逆。
这意味着，对应于逆时针60度旋转的矩阵，以及对应的转置，在这种情况下，它们是相互的逆。换句话说，关于旋转，
图片
一般来说，餍足这一条目的矩阵被称为正交矩阵（Orthogonal matrices），因此旋转矩阵是正交的。到目下为止，你可能会思，这种可视化需要矩阵是可逆的，如实，当触及到奇异矩阵（singular matices）时，如实有一定的狂妄。
时时情况下，奇异矩阵的秩（也即是矩阵中线性孤独的行或列的最大数量）会小于它地方空间的维数。
狭义相对论
我思特别提一下一个细节，固然它比拟复杂和专科，但是很伏击。正交条目对你来说可能没啥意旨。
图片
在左手边，转置被假定为将协变量养息为协变量，但在右边，A^(-1)将向量养息为向量。它们致使不是合并类型的对象，它们怎样可能十分呢？诀窍是将向量和协变量配对，将它们视为某种调换的东西。
关于这个(a,b)协变量，测量(1,0)为a，(0,1)为b，咱们将其与向量(a,b)关系，或在协变量的可视化中当作一堆平行线，将其与垂直于这些线的向量关系，长度是线的密度。天然，咱们也不错反过来作念——给定向量，咱们不错绘画那些平行线；给定向量(a,b)，咱们也不错简易构造阿谁协变量。这即是咱们怎样完结向量和协变量之间的逐一双应关系。
有个专科点的说法是，咱们说的这个配对关系必须是线性的，也即是说，它要餍足一些特定的数学规矩。咱们这里用的配对关系如实是线性的，但咱们不需要潜入磋商这个“线性”到底意味着什么。
让咱们列出一些向量和协变量。
图片
要是一个变换将一个协变量ε养息为另一个协变量η；况兼epsilon与向量v配对，η与向量w配对，那么它看起来不详 v被养息成了w。这个协变量到协变量的养息致使不知说念v的存在，但是因为这个配对，咱们不错将其视为向量到向量的养息。
以雷同的形状，要是一个向量到向量的养息将v养息为w，咱们不错合计它是从ε养息为η。恰是在这个意旨上，咱们说：
图片
我思强调一下为什么要配对向量和协变量有两个原因。领先，把一个向量和一个协变量匹配起来的这种作念法固然很常见也很天然，但它不是独一的步调。你还不错选拔把向量和 (-a, b) 或 (a, -b) 这么的协变量配对。这么作念依然不错保执逐一双应的关系。还有好多其他的选拔步调，但我之是以选这两个，只是因为这两种配对步调不错用在1+1维度的狭义相对论的数学中，而且任何餍足这种正交条目的矩阵，在这种配对下，齐是洛伦兹变换。
要是你对相对论有所了解，况兼思知说念这与相对论有什么关系，请耀眼，从向量到协变量的养息是度规张量的责任，而从协变量到向量的养息是逆度规的责任。要点是，指定哪种逐一双应关系，或你正在使用的度规特别伏击，因为不同的度规会产生不同的数学。
另一件事是你可能致使无法将它们配对。在无穷维向量空间中物联网软件开发资讯，协变量远多于向量，是以你恒久无法完结逐一双应。
本站仅提供存储办事，悉数内容均由用户发布，如发现存害或侵权内容，请点击举报。