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假定你正濒临一个复杂且难以惩办的问题，你有才调将这个问题重新表述为一个新的、较容易的问题。这么，你不仅不错惩办这个简化后的问题，还不错将其解法疗养回原来的复杂问题。这即是拉普拉斯变换的中枢。
它现实上是一个捷径，在某些情况下将大学水平的问题迁移为高中水平的问题。具体来说，它将微积分迁移为代数，将一些相当逶迤的方程迁移为不那么逶迤的方程。
不那么为东说念主所知的是，拉普拉斯变换在纯数学中也相当有用。
我但愿你从著述中记取一个进击不雅点，
在数学中，存在两个平行的限制，每次你对一个函数进行操作时，其实是在同期对两个不同的方面进行处理。
界说、例子和性质
拉普拉斯变换界说如下：
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排列三第2024181期奖号两码合差分析：
假定有一个变量t的函数f，那么拉普拉斯变换ℒ(f)是另一个变量s的函数F，界说为：
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这些变量称呼的背后原因是，当以物理学的角度解释拉普拉斯变换时，咱们会将一个信号示意为期间的函数，并将其疗养为一个示意（复）频率的函数的信号。咱们不会盘问这种对应关系的真实含义，但我不错告诉你，它与它的姐妹——傅里叶变换联系。
瞩目，F不是f的反导函数。积分上限中的无尽大标记应被解释为取极限，即
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假定极限存在。
让咱们看一个例子。让咱们选拔最浅显的函数之一：f(t) = t。
咱们不错使用分部积分获得以下效果：
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在此经过中，咱们使用了洛必达章程，你只需瞩目，当f(t) = t时，F(s) = 1/s²。
同理，咱们不错更浅显地得出论断：当原函数 ()=1时，其拉普拉斯变换 ()等于 1/。
让咱们望望在“平行”天下中，在时域内乘以一个指数是什么面目的。
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因此，当在期间域中将一个函数乘以一个指数函数时，在拉普拉斯变换后的 域中，这荒谬于移动（或平移）参数。这种效果固然看起来浅显，但现实上相当高大，况且在相关的文件中被反复使用。
一个进击的例子是指数函数的拉普拉斯变换。具体来说，有
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拉普拉斯变换也不错应用于三角函数。举例，当咱们对函数 ()=sin()进行拉普拉斯变换时，咱们需要通过分部积分的步调进行屡次盘算推算，并最终求解一个方程。经过这些盘算推算之后，咱们不错获得一个相当有用的效果：
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拉普拉斯变换有一些相当有用且进击的性质。其中，最基本且最进击的性质之一是它是一个线性算子。线性算子的特点意味着拉普拉斯变换欣慰以下条款：
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其中F和G差别是f和g的拉普拉斯变换。
另一个极其进击的性质是拉普拉斯变换是一双一的映射，这意味着它有唯独的逆变换。即，非论咱们在一个天下中作念什么，在另一个天下中皆有平行的动作。
两个可积函数唯有在它们在勒贝格臆度为零的鸠合上有所不同的情况下，才具有疏通的拉普拉斯变换，而且逆变换的精准公式需要复杂的积分表面（概述积分）。
通过拉普拉斯变换诠释“天下上最好意思的方程”
以下被称为数学中最好意思的效果。这归功于莱昂哈德·欧拉，他向咱们展示了指数函数与三角函数的关系：
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世俗咱们诠释欧拉公式的步调是通过张开指数函数的无限幂级数，并使用分派律的无限版块。这种步调固然灵验，但波及到一些复杂的本事性论证。因此，甘肃省物联网软件开发为了简化，许多作家在耕作时会不详这些复杂的设施。
你可能不知说念的是，咱们不错使用拉普拉斯变换来诠释上述欧拉的效果。
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当今咱们不错在双方取逆拉普拉斯变换获得
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其中咱们使用了逆变换的线性性质。将上述公式看手脚三角函数的余弦和正弦：
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得证。
从微积分到代数再回到微积分
拉普拉斯变换最高大的性质之一是它将导数变为多项式。具体来说，有
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即在s域中乘以s对应于期间空间中的微分。还有更高阶的近似公式。举例：
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这些公式看起来浅显，但它们有才调将微分方程迁移为多项式方程，而多项式方程要容易得多。在某些情况下，它们以致将偏微分方程迁移为常微分方程。
例子
假定咱们思要解微分方程：
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运行条款为f(0) = 0和f '(0) = 0。让咱们在双方取拉普拉斯变换
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通过代入运行条款并提议F(s)，获得
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让咱们停驻来，瞩目以下2个进击的点：
复杂的方程变浅显了：通过拉普拉斯变换，蓝本复杂的微分方程造成了一个浅显的函数界说。这使得问题变得更容易处理。
运行条款编码到解中：在 s 域中，运行条款被当然地包含在解中。因此，不需要终点的多个运行条款，因为它们还是被整合到一个方程里了。这意味着咱们只需要处理一个浅显的方程，而不是处理多个运行条款。
当今，只需在双方取逆拉普拉斯变换来找到f。在实行中，咱们频繁使用部分分式解析，但咱们也不错使用一个公式。
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固然拉普拉斯变换在处理微分方程时相当灵验，但这仅仅其应用的一个最先。拉普拉斯变换有许多其他富裕见效的应用，但本文不会真切探讨这些内容。
更高档和奇特的用例
在s域中乘以s对应于微分，除以s对应于积分，效果诠释是更一般对应关系的特殊例子。
卷积（Convolutions）
在s域中两个函数F和G的乘积界说了期间域中两个函数f和g的一种运算，称为卷积，记作f * g。凭证维基百科：
卷积在概率论、统计学、声学、光谱学、信号处理和图像处理、地球物理学、工程学、物理学、盘算推算机视觉和微分方程中皆有应用。
正实数上的积分和狄利克雷积
拉普拉斯变换的一个相当有用的性质如下：
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让咱们尝试用这个公式来处理一个盛名的逶迤积分，称为狄利克雷积分。这个问题要求盘算推算以下积分：
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这个例子在高大积分本事中就像“Hello, World” 雷同，是一个浅显但能展示其基应许趣和功能的经典示例。。咱们有：
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运用1/(x²+1)的反导数是arctan(x) + c，获得
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拉普拉斯级数
我一直期待着与环球共享以下内容。 咱们假定整个的一般级数和积分皆拘谨。
假定有一个周期为P的周期函数f，况且它的傅里叶级数为
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那么咱们不错通过线性性获得f的拉普拉斯变换的级数：
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若是P = 2π，那么上述公式简化为
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其中a和b差别是偶数和奇数的傅里叶所有。
我不知说念这个公式是否有称呼，因为我之前莫得见过它，是以我称之为拉普拉斯级数。若是它还是有称呼，请告诉我。
让咱们尝试将其应用到一个例子中。在区间[0, 2π]内设f(t) = t，然后周期性延拓。该函数的图像如下：
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这个函数的傅里叶级数如下：
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咱们知说念，除了在不流通点（即t ∈ 2πℤ处，它正巧等于π）以外，该函数与上头界说的锯齿函数疏通。
在使用公式之前，我履历了手工盘算推算f的拉普拉斯变换的横祸经过。通过对积分的无限级数乞降，获得
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由于f的傅里叶级数仅在臆度为0的鸠合上与f不同，咱们知说念上述公式正巧等于f的拉普拉斯级数。即：
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其本体是，即使傅里叶级数在s域中也有一个平行的级数。这意味着每个（相对细致行为的）周期函数在期间域中有一个傅里叶级数示意它，在复频域中有一个拉普拉斯级数示意它。
可是，咱们需要略眇防范，因为拉普拉斯变换只变换正实数上的函数。它对负轴上的函数“一无所知”。
这个表面翻开了清楚数论限制的大门物联网软件开发价格，在这个限制，像左边这个级数詈骂常进击的考虑对象。
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